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segunda-feira, 7 de abril de 2014

EDO linear de primeira ordem: exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 2

Atendendo ao pedido de um leitor, apresentarei solução para o seguinte

Problema: resolva a seguinte EDO linear:

$$x^2\frac{dy}{dx}+2xy=e^x$$

Solução:


Usarei a terminologia e a notação empregadas nesta postagem. Portanto, para melhor entender o que segue abaixo, é conveniente que você a leia.

Escrevendo $$y'$$ em vez de $$dy/dx$$, obtemos


$$x^2y'+2xy=e^x\;\;\;(*)$$

Note que, pela regra do produto,


$$\frac{d}{dx}[x^2y]=x^2y'+2xy$$


Logo, substituindo isso na equação $$(*)$$, resulta que


$$\frac{d}{dx}[x^2y]=e^x$$


Assim, integrando ambos os lados, concluí-se que


$$\int \frac{d}{dx}[x^2y]=\int e^x\;dx$$

$$x^2y=e^x+C$$

Isolando o $$y$$, encontramos a solução procurada:

$$y=x^{-2}(e^x+C)$$


Observação: a resolução acima é um pouco mais curta do que aquilo que, em geral, se pode esperar para uma EDO linear de primeira ordem. Neste caso, a equação já está num formato "bom", o qual nos permite aplicar a regra do produto de imediato. Geralmente, devemos fazer algumas manipulações na equação antes de chegar nesta etapa. Se, neste caso, não tivéssemos percebido que poderíamos aplicar a regra do produto sem mais delongas, provavelmente procederíamos do seguinte modo:

- Multiplicaríamos ambos os lados da equação $$(*)$$ por $$x^{-2}$$, obtendo a "forma padrão" da equação:
$$y'+\frac{2}{x}y=x^{-2}e^x,$$

com
$$Q(x)=x^{-2}e^x$$
e

$$P(x)=\frac{2}{x}.$$

- Calcularíamos a integral da função $$P$$:


$$\int P(x)\;dx=\int\frac{2}{x}\;dx=2\ln|x|=\ln(|x|^2)=\ln x^2$$


- Determinaríamos o fator integrante:


$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}=e^{\ln x^2}=x^2$$


- Multiplicaríamos ambos os lados da equação (na forma padrão) pelo fator integrante:

$$\left(y'+\frac{2}{x}y\right)x^2=\left(x^{-2}e^x\right)x^2$$

$$x^2y'+2xy=e^x$$

Pelo "roteiro" do método, o próximo passo seria utilizar a regra do produto (precisamente como fizemos no início da solução). Mas observe que, depois de todo aquela manipulação, chegamos exatamente na equação com que começamos. Logo, toda a manipulação é desnecessária de maneira que podemos abreviar a resolução ("pulando" a parte do fator integrante).

*Erros podem ser relatados aqui.

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